DINÁMICA
Las estrategias a seguir para la solución de los problemas de dinámica es muy parecido al de vectores y cinemática, el razonamiento se hace sobre base de un sistema de coordenadas..
a) Primero donde colocar el origen del sistema de coordenadas y cual dirección es positiva y cual dirección es negativa. el caso sencillo es colocar el origen del sistema de coordenadas sobre un punto que este en reposo o si el punto esta en movimiento rectilíneo que sea uniforme.
b) Hacemos coincidir la dirección de los vectores fuerzas (tensión, normal, fuerza de roce) y aceleración con los signos de los ejes de coordenadas. la aceleración hacia abajo es negativa y hacia arriba es positiva igual con los vectores fuerza, el eje x positivo también coincide con una aceleración positiva. recuerde que son vectores y por lo tanto tienen una dirección y un sentido.
c) Todos los términos de la ecuaciones de dinámica son positivos y al sustituir las cantidades vectoriales debemos colocarlos con sus respectivos signos. los factores fuerza y aceleración, son positivos en los termino de las ecuaciones de dinámica, pero al sustituir recordemos colocar el signo (de una manera vectorial).
DEFINICIONES
LA MASA de un objeto es una medida de su inercia. Se llama inercia a la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en este estado, y de un objeto en movimiento a continuarlo sin cambiar su velocidad. Durante varios siglos, los físicos habían encontrado útil concebir la masa como una representación de la cantidad de materia, pero esa idea ya no es sostenible (como se aprendió a partir de la Relatividad Especial).
EL KILOGRAMO PATRÓN es un objeto cuya masa se defi ne como un kilogramo. Las masas de otros objetos se encuentran por comparación con esta masa. Un gramo masa equivale exactamente a 0.001 kg.
FUERZA, en general, es el agente del cambio. En mecánica, es aquello que cambia la velocidad de un objeto. La fuerza es una cantidad vectorial, que tiene magnitud y dirección. Una fuerza externa es aquella cuya fuente se encuentra fuera del sistema que se está considerando.
LA FUERZA RESULTANTE que actúa sobre un objeto le proporciona una aceleración en la dirección de la fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. (A partir de la Teoría Especial de la Relatividad, ahora se sabe que este enunciado en realidad es una aproximación excelente, aplicable a todas las situaciones donde la rapidez es apreciablemente menor que la de la luz, c.)
EL NEWTON es la unidad de fuerza en el SI. Un newton (1 N) es la fuerza resultante que proporciona a 1 kg una aceleración de 1 ms2. La libra equivale a 4.45 N o, de manera alternativa, un newton es aproximadamente un cuarto de libra.
PRIMERA LEY DE NEWTON: Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimiento seguirá moviéndose con velocidad constante, excepto en cuanto recibe la acción de una fuerza externa. La fuerza es lo que Cambia el movimiento.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Como la enunció Newton, la segunda ley se estructuró en términos del concepto de cantidad movimiento. En el capítulo 8 se tratará un enunciado rigurosamente correcto. En este punto, el enfoque será sobre una variación menos fundamental, pero muy útil. Si la fuerza resultante (neta) F que actúa sobre un objeto de masa m no es cero, el objeto se acelerará en la dirección de 1a fuerza. La aceleración a es proporcional a 1a fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Con F en newtons, m en kilogramos y a en ms2, esta proporcionalidad se puede escribir como una ecuación:
TERCERA LEY DE NEWTON: La materia interactúa con la materia; las fuerzas se presentan en pares. Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, existe otra igual, pero en sentido opuesto, actuando sobre algún otro cuerpo. Con frecuencia a ésta se le llama ley de acción y reacción. Note que las fuerzas de acción y reacción actúan en los dos diferentes cuerpos que interactúan.
EL PESO de un cuerpo (FW) es la fuerza gravitacional que atrae al cuerpo. En la Tierra, es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Sus unidades son newtons (en el SI) y libras (en el sistema británico). Debido a que la Tierra no es una esfera uniforme perfecta, y sobre todo más por su rotación, el peso medido por una balanza (con frecuencia llamado peso efectivo) será diferente, de manera muy ligera, del que se acaba de definir.
RELACIÓN ENTRE MASA Y PESO: Un cuerpo de masa m en caída libre hacia la Tierra está bajo la acción de una sola fuerza, la atracción gravitacional, a la que se conoce como peso FW del objeto. La aceleración g que tiene un objeto en caída libre se debe a su peso FW. Entonces, la ecuación F = ma da la relación entre F = FW, a = g y m; esto es, FW = mg. Como en la superficie terrestre, en promedio, g = 9.81 m/s2, un objeto de 1.00 kg pesa 9.81 N (o 2.20 lb).
FUERZA DE TENSIÓN (F T) es la fuerza con la que una cuerda o cadena tira del objeto al cual está unida. La magnitud de la fuerza de tensión es la tensión (FT).
FUERZA DE FRICCIÓN (F f ) es una fuerza tangencial que actúa sobre una superfi cie que se opone al deslizamiento de la superficie a través de una superficie adyacente. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta, en sentido, a su movimiento. Un objeto empezará a resbalar sólo cuando la fuerza aplicada sobrepase la fuerza máxima de fricción estática.
FUERZA NORMAL (F N) sobre una superficie que descansa sobre una segunda superficie, es la componente perpendicular de la fuerza ejercida por la superficie de soporte sobre la superficie que está siendo soportada.
COEFICIENTE DE FRICCIÓN CINÉTICA (c) se define para el caso en el que una superficie se desliza a través de otra con rapidez constante. Esto es
Lanzamiento de proyectil
2.1-Una pulga salta 0,1 m en salto vertical. ¿Cuál es su velocidad inicial? Si ha alcanzado esa velocidad mediante una extensión de sus patas en una distancia de 0,0008 m, ¿Cuál ha sido su aceleración inicial? La distancia de aceleración en el hombre es de 0,5m. si un hombre saltara con la misma aceleración que una pulga ¿a qué altura llegaría?.
Sugerencia 2.1: Para la pulga se tienen dos movimiento; movimiento acelerado cuando extiende sus patas (a una distancia de 0,0008 m) y movimiento desacelerado (caída libre) cuando recoge las pata y despega (recorriendo una distancia de 0,1 m - 0,0008 m = 0,0992 m).
Sugerencia 2.1: Para la pulga se tienen dos movimiento; movimiento acelerado cuando extiende sus patas (a una distancia de 0,0008 m) y movimiento desacelerado (caída libre) cuando recoge las pata y despega (recorriendo una distancia de 0,1 m - 0,0008 m = 0,0992 m).
2.2- Un atleta alcanza la velocidad máxima de 10, 5 ms-1 en su carrera previa a un salto. En un salto de longitud se alza a una altura de 0,6 m a) Cuál será su velocidad máxima durante un salto? b) donde la alcanzara? c) Cuál es la máxima longitud de su salto.
Sugerencia 2.2: Tenemos un movimiento en dos dimensiones y 10, 5 ms-1 es una velocidad horizontal, por lo que se tiene que calcular la velocidad vertical a partir de la ecuación de altura máxima, una vez que se obtiene, se calcula la magnitud de la velocidad a partir de su componente horizontal y vertical. b) se calcula la distancia horizontal utilizando el tiempo máxima altura c) se aplica la ecuación de distancia máxima.
Movimiento circular
2.3- Supongamos que una partícula dista 0,1 m del eje de un motor que gira a 3000 rpm (revoluciones por minuto). Calcúlese la aceleración centrípeta a la que se ve sometida esta partícula y compárese con la gravedad
2.4- Un rotor centrífugo acelera desde el reposo hasta 20.000 rpm en 30 s. a) Cuál es la aceleración angular promedio. b) Cuántas revoluciones ha dado el rotor Centrífugo durante su periodo de aceleración, si se supone una aceleración angular constante.
Sugerencia 2.4: a) El rotor parte desde el reposo, esto es un movimiento acelerado, por lo que se utiliza la ecuación 𝞪 = (𝟂 - 𝟂₀)/(t - t₀) para calcular aceleración angular (rpm es revoluciones por minuto, una revolución es una vueltas, por lo tanto 1 rpm = 2𝞹 rad/min, se multiplica 20.000x2𝞹 rad/min y se obtienen las unidades de la rapidez angular 𝟂), b) es el producto de 20.000 rpm por el tiempo de 30 s, eliminado el tiempo, pero hay que transformar el tiempo en las unidades rpm.
Sugerencia 2.4: a) El rotor parte desde el reposo, esto es un movimiento acelerado, por lo que se utiliza la ecuación 𝞪 = (𝟂 - 𝟂₀)/(t - t₀) para calcular aceleración angular (rpm es revoluciones por minuto, una revolución es una vueltas, por lo tanto 1 rpm = 2𝞹 rad/min, se multiplica 20.000x2𝞹 rad/min y se obtienen las unidades de la rapidez angular 𝟂), b) es el producto de 20.000 rpm por el tiempo de 30 s, eliminado el tiempo, pero hay que transformar el tiempo en las unidades rpm.
2.5- Un niño sentado a 1,10 m del centro de un carrusel se mueve con una rapidez de 1,25 m/s. calcule a) la aceleración centrípeta del niño y b) La fuerza horizontal neta ejercida sobre el niño (masa = 25.0 kg)
2.6- Una bola de 0,45 kg atada al extremo de una cuerda horizontal, gira en un circulo de 1,3 m de radio sobre una superficie horizontal sin fricción. Si la cuerda se romperá cuando la tensión cuando la tensión supere 75 N, cual es la rapidez máxima que puede alcanzar la bola.?
2.7- Las hormonas de crecimiento de las plantas se orientan en la misma dirección y en sentido contrario a la aceleración que actúa sobre ellas. Si únicamente están sometidas a la acción de la gravedad, se orientarán según la vertical. ¿ qué ángulo formarán con la vertical si la planta crece sobre el borde de una plataforma de 1m de radio, que gira con una rapidez angular de 2 rad s-1?
Sugerencia 2.7: Sobre la planta actúan dos aceleraciones, la gravedad en la vertical hacia abajo y la aceleración centrípeta hacia el centro de la plataforma, por lo que la planta crecerá en sentido contrario a estas aceleraciones. El vector aceleración tendrá dos componentes, por lo que se debe calcular el ángulo que forman. La aceleración de gravedad es 9.8 m/s y la aceleración centrípeta es a = radio x (rapidez angular)²
Sugerencia 2.7: Sobre la planta actúan dos aceleraciones, la gravedad en la vertical hacia abajo y la aceleración centrípeta hacia el centro de la plataforma, por lo que la planta crecerá en sentido contrario a estas aceleraciones. El vector aceleración tendrá dos componentes, por lo que se debe calcular el ángulo que forman. La aceleración de gravedad es 9.8 m/s y la aceleración centrípeta es a = radio x (rapidez angular)²
Músculos y articulaciones
3.1- la tensión máxima de la fibra lisa de los músculos aductores de los moluscos bivalvos es de 80 N cm-2. Supongamos que la distancia de inserción de los moluscos hasta la articulación de las valvas es de 0,5 cm y que la longitud de la valva es 5 cm. ¿ Que fuerza tendremos que aplicar para abrir un molusco si el musculo correspondiente es un cilindro de 2 mm de radio?
3.2- Suponga que el punto de inserción del bíceps en el antebrazo esta a 6,0 cm en lugar de 5 cm: ¿cuánta masa podría sostener la persona con un musculo que ejerce 450 N? fig M-1
Sugerencia 3.2: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la articulación del codo y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ) y suma del momento de torsión igual a cero ( ∑ M = ∑ Fx d = 0 ).
Sugerencia 3.2: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la articulación del codo y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ) y suma del momento de torsión igual a cero ( ∑ M = ∑ Fx d = 0 ).
3.3- ¿Aproximadamente qué magnitud de fuerza; Fm, debe ejercer el musculo extensor del brazo para jalar y sostener hacia abajo un peso de 7,3 kg?. El antebrazo tiene una masa d 2,8 kg y su cg está a 12 cm del pivote de la articulación, y desde este mismo punto pivote el brazo tiene una longitud de 30 cm y al punto de inserción del extensor 2,5 cm. Fig M-2
3.4- A) calcule la fuerza Fm que se requiere del deltoides para mantener estirado el brazo como se indica en la fig la masa total del brazo es de 3,3 kg. B) Calcule la magnitud de la fuerza Fa que la articulación del hombro ejerce sobre la parte superior del brazo. Fig M-3.
Sugerencia 3.4: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la articulación del hombro y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ) y suma del momento de torsión igual a cero ( ∑ M = ∑ Fx d = 0 ).
Sugerencia 3.4: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la articulación del hombro y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ) y suma del momento de torsión igual a cero ( ∑ M = ∑ Fx d = 0 ).
3.5- El tendón de Aquiles está unido al talón, como se muestra en la fig cuando una persona apenas se eleva del suelo sobre la almohadilla de un pie, estime la tensión en el tendón de Aquiles (que jala hacia arriba) y la fuerza (descendente) Fb que ejerce el hueso de la pierna (tibia) sobre el pie, considere que la persona tiene una masa de 72 kg y que D es el doble de d. Fig M-4
3.6- El aductor de la cadera, que conecta la cadera al fémur, consta de tres músculos independientes que actúan a diferentes ángulos según la fig. Muestra los resultados de medidas de la fuerza ejercida por separado por cada musculo. Hallar la fuerza total ejercida por los tres músculos juntos. Fig M-5.
Sugerencia 3.6: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la cadera y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ).
Sugerencia 3.6: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la cadera y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ).
3.7- Calcule la magnitud y dirección e la fuerza Fv que actúa sobre la quinta vértebra lumbar para el ejemplo de la fig. ahora para una persona que está menos flexionada, de modo que en lugar de los 30° se tiene 45°, cuál será la magnitud de Fv sobre la vértebra Fig M-6
3.8- La Fig M-7 representa la cabeza de una estudiante inclinada sobre su libro. La cabeza pesa 4,5 kp y está sostenida por la fuerza muscular Fm ejercida por los extensores del cuello y por la fuerza de contacto Fc ejercida en la articulación atlanto-occipital. Dado que el módulo de Fm es 5,4 kp y que está dirigida 35° por debajo de la horizontal, hallar (a) el módulo y (b) la dirección de Fc.
Sugerencia 3.8: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la cabeza y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ).
Sugerencia 3.8: El sistema de coordenada se puede colocar sobre la cabeza y luego se aplica la condición de equilibrio, suma de fuerzas igual a cero (∑ F = 0 ).
Velocidad de sedimentación
3.9- Calcular la velocidad de caída de una gota de lluvia de 10-3 cm de radio (viscosidad del aire, 0,01 cp; densidad del aire, 0,001 g cm-3; densidad del agua, 1 g cm-3).
3.10- Calcular el tiempo en que un glóbulo rojo humano tarda en sedimentarse 1 cm en plasma sanguíneo suponiendo que tiene una forma esférica y sabiendo las características siguientes: R = 2 mm, rglob= 1,3. 103 Kg m-3 , m = 2,084. 10-3 Kg m-1s-1, rp = 1,056. 103 Kg m-3. En una centrifugadora donde w2r = 105g cuánto tiempo le toma.
3.11- Para separar partículas muy pequeñas de densidad muy parecida a la del disolvente. Se utiliza una moderna ultracentrifugadora con un rotor de 20 cm de radio. Si se quiere separar partículas que sin centrifugación tardarían una semana en sedimentarse, a qué velocidad angular tendrá que girar la máquina para que la misma partícula sedimente en medio minuto.
3.12- Calcular el tiempo necesario para que un eritrocito en suspensión en plasma fisiológico y situado a una altura de 5 cm sobre el fondo del tubo se deposite por efecto de la gravedad normal. (Datos aproximado para el plasma fisiológico: densidad = 1,006 g cm3; viscosidad = 1,0 centipoise, datos aproximados para el eritrocito: densidad 1,100 g cm3; radio de supuesta forma esférica = 2,08 mm; coeficiente de resistencia, f = 1,17 fesfera ; temperatura = 20° C)
3.13- Calcular la velocidad de sedimentación a 20° C de la hemoglobina en plasma fisiológico. Calcular la velocidad angular del rotor de una ultracentrifugadora necesaria para que una molécula de hemoglobina situada en un de los tubos de plasma fisiológico llegue al fondo en 10 horas si el radio del rotor es de 15 cm.(datos de la hemoglobina: densidad = 1,335 g cm3; radio =0,27. 10-8 m; coeficiente de rozamiento f = 1,17 fesfera; datos del plasma fisiológico: densidad = 1,006 g cm3; viscosidad m = 1,0 cp)
Nota: para una forma esférica fesfera = 6p.
