Problemario de conversión, dimensión y vectores

Conversión de unidades:

1.1- Completar las siguientes expresiones: (a) 1,296x10⁵ km/h² = _____ km/H.s,  (b) 1,296x10⁵ km/h² = _____ m/s². (c) 60 mi/h = _____ pies/s. (d)  60 mi/h = _____ m/s.

1.2- En un litro hay 1,057 cuartos y 4 cuartos en un galón. (a) ¿cuántos litros hay en un galón? (b) un barril equivale a 42 galones. ¿Cuántos metros cúbicos hay en un barril?.

1.3- Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6,8 pulgada y una altura de 2 pies. ¿Cuál es el volumen del cilindro en (a) pies cubico (b) metros cúbicos (c) litros?.
Sugerencia 1.3: Volumen del cilindro V = pr²h

Dimensión de una magnitud (verificar unidades)

1.4- En las siguientes expresiones, x esta en metros, t en segundos, v en metros por segundos y la aceleración a en metros por segundo cuadrado. Determinar las unidades del S.I de cada combinación: (a) v²/x .(b) (x/a)^1/2. (c) at²/2.

1.5- La ley de desintegración radiactiva es N(t) = N₀e^-lt, en donde N₀ es el numero de núcleos radiactivos en el instante t=0; N(t) es el numero que permanece sin desintegrar en el tiempo t y l es la llamada constante de desintegración. ¿Qué dimensiones tiene l?.
Sugerencia al 1.5: el argumento de la exponecial es adimencional, el producto de lt queda sin dimensiones. 

1.6- La unidad del S.I de fuerza, el kilogramo-metro por segundo cuadrado (kg.m/s²), se denomina Newton. m₁ y m₂ son masas dados en kg. Hallar las dimensiones y las unidades del S.I de la constante G en la ley de newton de la gravitación F = Gm₁m₂/r^2.
Sugerencia al 1.6: despeje G y sustituya las magnitudes.

1.7- Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un círculo. La fuerza ejercida por la cuerda tiene unidades de ML/T² y depende de la masa del objeto, de su velocidad y del radio del círculo. ¿Qué combinación de estas variables ofrece las dimensiones correctas de la fuerza?.

1.8- Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de arrastre que depende del producto del área superficial del objeto y el cuadrado de su velocidad, es decir  F = CAv², donde C es una constante. determine las dimensiones de C.
Sugerencia al 1.8: despeje C y sustitya las magnitudes de Fuerza, Area y velocidad

Vectores

1.9- La aguja de los minutos de un reloj de pared tiene 0,5m d longitud y la de la hora tiene 0,25m. Considerando el centro del reloj como origen y eligiendo un sistema de coordenadas apropiadas, escríbase la posición de las agujas de las horas y los minutos con vectores  cuando el reloj señala (a) 12:00, (b) 3:30, (c) 6:30, (d) 7:15, (e) si A es la posición el extremo de la aguja de los minutos y B es la posición del extremo de la aguja de las horas, calcular A-B para las horas dadas en los apartados (a)-(d) anteriores.
Sugerencia al 1.9: colocamos el sistema de coordenadas en el centro del reloj y construimos los vectores en el tiempo señalado ejemplo 6:30 la aguja de la hora apunta al y- y la aguja del minuto a x+, verifique los angulos para cada tiempo señalado.

1.10-  Un oso se mueve 12m hacia el norte del este y 12m hacia el este. Muéstrese gráficamente cada desplazamiento y determínese gráficamente el desplazamiento total.

1.11-  Hallar  las componentes rectangulares de los vectores A, que están comprendidas en el plano xy y forman un ángulo q con el eje x, para los siguientes valores de A y q: (a) A = 10m, q = 30°; (b) A = 5m, q = 45°;(c) A = 7 km, q = 45°; (d) A = 5 km, q = 90°;(e) A = 15 km, q = 150°;(f) A = 10m/s, q = 240°;(g) A = 8 m/s², q = 270°.

1.12-         Hallar la magnitud y dirección de los vectores A, B y C,

-          Magnitud y dirección de la de la resultante R.

-          calcular el ángulo; grafica y analíticamente entre los vectores A y C,  B y R

-          proyección del vector R sobre el vector B.

 1.13-         Hallar las componentes de los vectores A, B y C

-          Encuentre el vector D = 2A- 3B + C

-          Halle el ángulo de D  con el eje x

-          calcular el ángulo; grafica y analíticamente entre los vectores A y D,  B y R (resultante)

1.14- Un cubo de arista 3m tiene sus caras paralelas a los planos coordenados y un vértice en el origen. Una mosca situada en el origen se mueve a lo largo de las tres aristas hasta llegar al vértice opuesto. Escribir el vector desplazamiento de la mosca utilizando lo vectores unitarios i, j y k y hallar el módulo de su desplazamiento.

Sugerencia al 1.14: Es un cubo.!!. cada arista o lado del cubo mide 3 cm, recuerde la suma de vectores

1.15- Hallar el ángulo y la proyección del vector B sobre el vector A siendo  A= 2i + 3j - 5k y el vector  B= -2i + 7j + 5,5k.

Sugerencia al 1.15: se utiliza producto escalar para hallar el angulo entre dos vectores.

1.16- Dado los siguientes vectores A= -i + 7,2j - 3k, B= -2,6i - 3j – 6,1k y C= i - 5,5j - 8k hallar a) C.(A-B), b) A.(BxC)

1.17- En física el trabajo se define como el producto escalar  T= F.r, donde T representa el trabajo, F la fuerza y r el desplazamiento. Determine el trabajo realizado por una fuerza F= 7i - 6j - 2k (N) sobre un cuerpo al desplazarse r= -3i + 4j

Sugerencia al 1.15: simple producto escalar.

1.18- Para una pieza con capacidad de rotar alrededor de un punto se define una magnitud física llamada torque como el producto entre dos vectores, t = R x F, donde R se denomina vector posición desde el punto de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza F. Sus unidades Newton por metros. Consideremos el siguiente problema. Determinar el torque ejercido alrededor de la articulación de la rodilla por un peso de 112N en la posición de ejercicio mostrada en la fig.

Sugerencia al 1.18: Se construye el vector r desde el origen hasta donde se aplica la fuerza o en este caso donde esté el peso, se tien la magnitud y la dirección. el vector fuerza tiene una dirección y-, luego producto vectorial.